getallenleer

Bol.com AlgemeenBol.com Algemeen

Momenteel 37 gasten en geen leden online

Het vlak van Gauss (het complexe vlak)


[Terug naar overzicht hoofdstuk]              [Ontdek het hier zelf!]


In het verleden hebben we reeds enkele keren te maken gekregen met een uitbreiding der verzamelingen. Zo stelden we de uitbreidingsstappen voor om van natuurlijke naar gehele, om van gehele naar rationale én om van rationale naar reële getallen te gaan. Deze uitbreidingen werden telkens ook visueel voorgesteld. In feite deden we toen niet meer dan het opvullen van enkele 'gaten' op de getallenas. 

Laten we ons nu even concentreren op de meetkundige voorstelling van de uitbreidingsstap naar de complexe getallen. Aangezien de getallenas zelf geen plaats meer biedt, moeten we op zoek naar een andere oplossing om deze uitbreiding te kunnen realiseren.

De meetkundige voorstelling is gebaseerd op het feit dat een complex getal a+bi bestaat uit twee reële getallen: het reële deel a en het imaginaire deel b. Dit impliceert dat bij elk koppel (a,b) een complex getal a+bi hoort én dat elk complex getal a+bi in combinatie gebracht kan worden met (a,b).

We stellen het complex getal a+bi voor in het complexe vlak (vlak van Gauss). De horizontale as stelt de reële as voor, terwijl de verticale as doorgaat als imaginaire as.

Voorbeeld 1:

Het complex getal 3+2i heeft 3 als reëel deel en 2 als imaginair deel. Dit betekent dat 3+2i overeenkomt met het punt (3,2) in het complexe vlak.

Voorbeeld 2:

Het complex getal i heeft 0 als reëel deel en 1 als imaginair deel. Dit betekent dat i overeenkomt met het punt (0,1) in het complexe vlak.

Hieronder volgt de meetkundige voorstelling van beide voorbeelden in het complexe vlak:

vlak van Gauss